Ogólnopolska Matematyczna Konferencja Studentów - OMatKo!!! XII

Przestrzenie Banacha stanowią jedno z najważniejszych uogólnień geometrii euklidesowej. Każda norma nadaje przestrzeni własny kształt i sposób mierzenia odległości, a tym samym wpływa na to, jak rozumiemy zbieżność, ciągłość czy stabilność operatorów. Wystąpienie pokazuje, jak różne normy - euklidesowa, Manhattan, maksimum i ogólne normy p - tworzą odmienne geometrie, które można intuicyjnie...

Automatyczne dowodzenie twierdzeń
geometrycznych metodą Wu
Szymon Bizoń , Jakub Chmiel

Abstrakt
Metoda Wu to algorytmiczna technika automatycznego dowodze-
nia twierdzeń geometrycznych, oparta na tłumaczeniu założeń geo-
metrycznych na układy równań wielomianowych i analizie tych ukła-
dów z czysto algebraicznego punktu widzenia. W referacie omówimy
pojęcia i fakty...

Dany jest skończony, jednorodny, nierozkładalny i nieokresowy łańcuch Markowa
o macierzy przejścia P. Interesuje nas, jak szybko potęgi macierzy P zbiegają
do rozkładu stacjonarnego. Jednym ze sposobów oszacowania tej prędkości jest
znalezienie ograniczenia na lukę spektralną macierzy P. Dla leniwych łańcuchów
odwracalnych możemy to osiągnąć poprzez wyznaczenie wielkości zwanej...

W plakacie omówione zostanie pojęcie ciągłości normy w przestrzeniach
wektorowych unormowanych. Zaczniemy od klasycznego dowodu ciągłości
normy, pokazującego, że każda norma jest funkcją Lipschitzowską ze
stałą 1. Następnie przeniesiemy uwagę na przykłady nietypowych i
„egzotycznych” norm – od standardowych norm do zniekształconych norm, a także w przestrzenie nieskończenie wymiarowe,...

Fraktale stanowią jedno z najbardziej intrygujących pojęć współczesnej matematyki, łącząc w sobie precyzję nauki i estetykę natury. Ich istotą jest samopodobieństwo – powtarzalność wzorców w różnych skalach – oraz niecałkowity wymiar geometryczny, który pozwala opisywać zjawiska niemożliwe do uchwycenia klasyczną geometrią euklidesową.
Celem niniejszego plakatu jest ukazanie fraktali jako...

Gdy mowa o miarach osobliwych względem miary Lebesgue’a, na myśl przychodzi zazwyczaj przykład najprostszy - miara dyskretna, skupiająca swój ciężar w przeliczalnym zbiorze punktów.

W niniejszym opracowaniu zajmiemy się jednak przypadkiem o wiele subtelniejszym i, rzec można, bardziej intrygującym: mierą, która, będąc ciągłą (a więc nieposiadającą atomów), pozostaje zarazem osobliwa...

Tematem plakatu są grafy skierowane o krawędziach oznaczonych elementami danego zbioru $S$ i ich związek z pewnymi pseudometrykami na przestrzeni ciągów skończonych o wyrazach z $S$. Plakat zawiera definicje ścieżek i cykli, kategorii digrafów i grafów de Bruijna oraz przedstawia konstrukcję przez odpowiednie funktory przestrzeni liniowych związanych z digrafem. Te przestrzenie z odpowiednią...

Tematyką plakatu jest pojęcie grupy wolnej - jednej z najbardziej podstawowych i uniwersalnych struktur algebraicznych, znajdującej zastosowanie m.in. w paradoksalnym rozkładzie kuli czy lingwistyce.
Grupa wolna F(X) generowana przez dany zbiór X zawiera nieredukowalne iloczyny złożone z elementów zbioru X oraz ich odwrotności.
Na plakacie zaprezentowane zostaną przykłady oraz kilka...

W roku 1963 Paul Cohen wykazał, że nie da się udowodnić hipotezy Continuum na gruncie aksjomatów ZFC. Dokonał tego, wprowadzając nową technikę zwaną wymuszaniem (forcing), którą przedstawię na plakacie i w ten sposób "zabiję" hipotezę Continuum w jednym modelu. Następnie użyjemy tej samej techniki aby ją "wskrzesić" w innym modelu, dzięki czemu pokażemy, że jest ona niezależna od aksjomatów ZFC.

Tematem plakatu jest zastosowanie grup wolnych generowanych przez litery alfabetu łacińskiego oraz relacji wynikających z homofonii w różnych językach.
Na plakacie zawarte będzie twierdzenie mówiące, że ilorazy homofoniczne języka francuskiego i angielskiego są trywialne, co oznacza że wszystkie słowa można sprowadzić do elementu neutralnego. Znajdą się również przykłady języków, gdzie takie...

-

Homotopia i homologia to dwa podstawowe narzędzia topologii algebraicznej służące do badania struktury przestrzeni poprzez analizę jej „dziur”. Homotopia opisuje przestrzeń za pomocą klas odwzorowań sfer $𝑆^𝑛 → 𝑋$, uogólniając ideę pętli na wyższe wymiary. Pozwala to badać deformacje i własności przestrzeni w sposób geometryczny, jednak obliczanie grup homotopii dla $𝑛>1$ jest niezwykle...

Zaczęło się niewinnie. Zauważono, że każdą mapę można pokolorować tylko czterema kolorami, w taki sposób, że żadne dwa sąsiadujące kraje nie miały tej samej barwy. Brzmi prosto? Matematycy przez ponad sto lat starali się dowieść tej tezy.
Chociaż przez długi czas wydawało się to nieosiągalne, a kolejne próby rozbijały się o błędy, jedna z nich przyniosła nieoczekiwany rezultat – twierdzenie...

Celem niniejszego plakatu jest przedstawienie standardowego sposobu konstrukcji podwójnego nakrycia grup $SO(n)$. Opisane zostaną: iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych, algebry Clifforda form kwadratowych, wraz z konstrukcją i elementarnymi własnościami, definicja grupy $Spin(n)$ oraz nieformalna konstrukcja nakrycia $\lambda: Spin(n) \rightarrow SO(n)$.

Przedstawione zostaje ogólne ujęcie lematu Lovásza o unikaniu jako narzędzia do wykazywania istnienia konfiguracji pozbawionych lokalnych przeszkód. Podkreśla się, że rzadkość zdarzeń niepożądanych oraz ich ograniczone powiązania wystarczają do uzyskania globalnego porządku. Zarysowane zostają dwie perspektywy:
jednolita (wszystkie zdarzenia porównywalne),
zróżnicowana (różne wagi i...

Mapy chaotyczne opisują nieliniowe układy dynamiczne, w których niewielka zmiana warunków początkowych prowadzi do całkowicie odmiennego przebiegu trajektorii. Zjawisko to, znane jako efekt motyla, może być wykorzystane w procesach szyfrowania danych. Plakat prezentuje mapy logistyczną, namiotową i Hénona oraz ich zastosowanie w kodowaniu obrazów. Przedstawiono metody oparte na permutacji i...

Teoria liczb jest jedną z bardziej znanych dziedzin matematyki i nawet osoby nie-matematyczne zdają sobie sprawę z tego, jaka mnogość różnych typów liczb istnieje. Przykładowo o liczbach pierwszych można usłyszeć już w szkole - za to my zajmiemy się przybliżeniem tych mniej znanych, na które mogliście nie trafić podczas całego toku nauczania.

Choć matematyka tradycyjnie utożsamiana jest z porządkiem i przewidywalnością, teoria chaosu ujawnia, że nawet najprostsze równania deterministyczne mogą prowadzić do złożonych, nieprzewidywalnych zachowań. Chaos deterministyczny nie wynika z przypadkowości, lecz z ekstremalnej wrażliwości na warunki początkowe - zjawiska, w którym minimalne różnice w danych wejściowych skutkują diametralnie...

Plakat przedstawia rolę matematyki w kryptografii na przykładzie algorytmu RSA, opartego na teorii liczb i algebrze modularnej. Omówiono znaczenie liczb pierwszych dla bezpieczeństwa szyfrowania oraz zasadę działania RSA — od generowania kluczy po proces szyfrowania i odszyfrowywania. Zaprezentowano także praktyczne zastosowania RSA w certyfikatach cyfrowych, podpisach elektronicznych i...

Czy cała populacja ma tylko jednego przodka? Na to pytanie pomoże nam odpowiedzieć teoria koalescencji, która zajmuje się badaniem pokrewieństwa w danej grupie. W posterze rozważymy prosty model. Wykorzystamy łańcuchy Markowa oraz liczby Sterlinga II rodzaju, które zdefiniujemy i krótko omówimy. Wyznaczymy liczbę przodków danej populacji w kolejnych pokoleniach wstecz oraz czas jaki...

Modelowanie rozprzestrzeniania się epidemii w sieciach wielokrotnych, z uwzględnieniem złożonych zachowań ludzkich, jest bardzo ciekawym zjawiskiem, które można opisać modelem matematycznym zaproponowanym przez Anne Chmiel i Roberta Jankowskiego. W niniejszym posterze zbadamy wzajemne oddziaływanie między rozprzestrzenianiem się epidemii a dynamiką opinii. Wykorzystamy model SIRQD do opisania...

Wiele symulacji kwantowych opiera się na sieciach tensorowych. Obliczenia te ograniczone są nie tylko mocą obliczeniową, ale coraz częściej dostępem do pamięci (tzw. ściana pamięci, ang. memory wall). Architektury typu Processing-in-Memory (PIM), integrujące logikę obliczeniową bezpośrednio w modułach pamięci, pozwalają na zaadresowanie tego problemu. Omówię obliczenia na sieciach tensorowych,...

Zbiór $\widetilde{X}$ nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeni $X$, jeżeli istnieje takie odwzorowanie $p\colon \widetilde{X}\to X$, dla którego spełniony jest następujący warunek: dla każdego $x\in X$ istnieje otoczenie otwarte $U\in X$ takie, że $p^{-1}(U)$ stanowi rozłączną sumę zbiorów otwartych w $\widetilde{X}$, z których każdy jest homeomorficzny z $U$.

Na posterze...

Róg Gabriela - figura o skończonej objętości, lecz o nieskończonym polu powierzchni. Jest wiele figur o podobnych własnościach, ale to właśnie róg Gabriela, zwany inaczej trąbką Torriciellego wyróżnia się spośród nich. Ze względu na właściwości związany jest z nim paradoks malarza, mówiący, że można wlać do bryły skończoną ilość farby, lecz jej ściany nie zostaną pomalowane. Oczywiście nie...

Poster „Podróż na Księżyc za pomocą funkcji wykładniczej” mówi o zastosowaniu funkcji wykładniczej w kontekście problemu składania kartki papieru. Inspiracją stały się badania Britney Gallivan, która opracowała wzory opisujące zależność pomiędzy liczbą złożeń a długością i grubością papieru. Autorzy udowadniają, że funkcja wykładnicza doskonale opisuje, jak szybko rośnie grubość papieru już...

Ten plakat przedstawia proces Wienera jako rygorystyczne matematyczne narzędzie do opisu losowości w czasie ciągłym w systemach finansowych. Podkreśla rolę lematu Itô jako rozszerzenia klasycznej reguły łańcuchowej na procesy losowe. Zawarty jest zwięzły zarys dowodu lematu, który ilustruje intuicję stojącą za jego sformułowaniem. Na koniec plakat omawia kluczowe zastosowania w finansach, w...

Niniejszy plakat bada zasadniczą rolę wypukłości w klasycznych algorytmach uczenia maszynowego (ML). Wiele tradycyjnych metod opiera się na minimalizacji wypukłych funkcji straty – wyborze motywowanym gwarancjami optymalizacyjnymi, jakie zapewniają te struktury matematyczne.
Rozpoczniemy od formalnego wprowadzenia definicji zbiorów i funkcji wypukłych, a także kluczowych twierdzeń je...

Na plakacie zajmuję się pytaniem: czy istnieje funkcja przekształcająca prostą rzeczywistą na płaszczyznę tak, że w każdym punkcie co najmniej jedna z jej współrzędnych jest różniczkowalna?
Problem ten, choć sformułowany w języku analizy matematycznej, prowadzi poza jej granice — do fundamentów całej matematyki opartej na aksjomatach teorii mnogości. Okazuje się bowiem, że istnienie takiej...

Plakat przedstawia problem detekcji zmanipulowanych obrazów z wykorzystaniem metryk geometrycznych w przestrzeni cech generowanej przez sieci konwolucyjne.
Każdy obraz reprezentowany jest przez wektor cech opisujący jego strukturę wizualną, który następnie jest porównywany z rozkładem cech typowych dla obrazów prawdziwych. Pozwala to określić stopień odchylenia danej próbki od oczekiwanego...

Wieloraka regresja liniowa jest jedną z najczęściej stosowanych metod analizy
ilościowej, pozwalającą na modelowanie wpływu wielu zmiennych objaśniających na
zmienną badaną. W praktycznych zastosowaniach modeli regresji wielorakiej jednym z
najpoważniejszych wyzwań jest multikolinearność, czyli istnienie niemal liniowej zależności między zmiennymi objaśniającymi, która prowadzi do...