Ogólnopolska Matematyczna Konferencja Studentów - OMatKo!!! XII

W matematyce oraz informatyce bada się różne rodzaje problemów optymalizacyjnych. Dla wielu z nich udało się opracować efektywne algorytmy, które zawsze pozwalają znaleźć optymalne rozwiązanie. Są jednak i takie, dla których nie znamy algorytmów o zadowalającym czasie działania. Co więcej, mamy poważne powody, żeby przypuszczać, że dla niektórych problemów takie algorytmy w ogóle nie istnieją....

Spotykanie przez sprzęganie — dynamika Glaubera w teorii łańcuchów Markowa

Wiele zjawisk, które obserwujemy w naturze i technologii — od ruchu cząstek po algorytmy komputerowe — ma w sobie element losowości. Jednym z najważniejszych narzędzi do ich opisu są łańcuchy Markowa, czyli modele, w których przyszłość zależy tylko od obecnego stanu, a nie od całej historii. W referacie opowiem o...

Kryptografia krzywych eliptycznych (ECC) stanowi jeden z filarów nowoczesnych systemów zabezpieczających dane. Jej kluczowa rola w dzisiejszej informatyce wynika ze zdolności do zapewnienia tego samego poziomu bezpieczeństwa co w przypadku klasycznych systemów (np. opartych na problemie faktoryzacji) przy użyciu znacznie krótszych, a tym samym wydajniejszych obliczeniowo kluczy. Jest ona...

Celem wykładu jest znalezienie wszystkich liczb Fibonacciego, które są potęgami liczb całkowitych. By uzyskać wynik, zostaną wykorzystane narzędzia z teorii liniowych form logarytmów Bakera, mające swoje źródła w rozwiązaniu siódmego problemu Hilberta.
W prelekcji zostaną najpierw przedstawione podstawy teorii liniowych form logarytmów Bakera oraz kluczowe oszacowania, pozwalające nam...

W Polsce, jak i w wielu innych demokracjach świata, obserwujemy wybory binarne, których wyniki kształtują się około 50% na 50%. Opowiem o modelu zainspirowanym modelem Isinga, który próbuje wyjaśnić to zjawisko. W owym modelu rozważamy sieć wyborców, którzy mogą przyjąć jedną z dwóch opinii. Wyborcy preferują opinię zgodną z sąsiadami i przeciwną do faworyta sondażów. Prowadzi to do stanu...

Prezentacja poświęcona jest zagadnieniu kombinatorycznych charakteryzacji własności pokryciowych przestrzeni topologicznych, które stanowią ważny obszar badań w topologii ogólnej. Celem wystąpienia jest pokazanie, w jaki sposób własności topologiczne — takie jak np. własność Mengera czy Hurewicza— mogą być opisane przy użyciu narzędzi i idei pochodzących z kombinatoryki oraz teorii mnogości....

Wędrówka chaotyczna (chaotic itinerancy) to rodzaj zachowania obserwowanego w układach dynamicznych na pograniczu chaosu i uporządkowania. Zjawisko to polega na tym, że trajektoria układu przez pewien czas przebywa w stanie uporządkowanym, po czym przechodzi do stanu chaotycznego. Po jakimś czasie trajektoria znowu wraca do - być może innego - stanu uporządkowanego i ten proces jest...

Zjawisko Rungego stanowi jedno z najbardziej intrygujących przykładów sytuacji, w której matematyczna rzeczywistość przeczy naszej intuicji. Dotyczy ono interpolacji wielomianowej - procesu, który powinien przybliżać dowolną funkcję wielomianem coraz lepiej wraz ze wzrostem liczby punktów (węzłów). Jednak wbrew oczekiwaniom, dla pewnych funkcji i rozmieszczeń punktów, przybliżenie wielomianowe...

Wiele z nas kojarzy księgę Szkocką w której lwowscy matematycy pisali problemy wymagające rozwiązania. Jednak ile z tych problemów jest nam faktycznie znane? Pokażę rozwiązania kilku z do tej pory rozwiązanych problemów i być może zainteresuję uczestników tymi nierozwiązanymi, których wciąż wiele można w księdze znaleźć.

W dobie nadmiaru informacji i łatwości publikacji treści efektywne określenie
głównej tematyki dużych zbiorów tekstowych staje się wyzwaniem. W takim
przypadku tradycyjna analiza jest czasochłonna i nieefektywna. Odpowiedzią na
to wyzwanie są nowoczesne metody analizy tekstu, w tym model ukrytej alokacji
Dirichleta (LDA – Latent Dirichlet Allocation), który pozwala na...

Dzielące się przez jeden i samą siebie liczby skrywają w sobie wiele tajemnic, które od stuleci fascynują matematyków. Choć ich rozmieszczenie wydaje się chaotyczne, w tym pozornym nieładzie można dostrzec zaskakujące wzory i regularności.

W referacie Porządek w chaosie spróbujemy uchwycić te ukryte zależności. Zaczniemy od słynnego wzoru Eulera $n^2 + n + 41$, który przez długi czas...

Analiza nieliniowych układów dynamicznych jest często trudna, szczególnie dla wysokowymiarowych układów oraz takich, które są chaotyczne.
W referacie przedstawiamy metodę analizy dynamiki układu zadanego przez ciągłe odwzorowanie $f\colon X\ni x_t\mapsto x_{t+1} \in X$ polegającą na dyskretyzacji przestrzeni fazowej na skończony zbiór $n$-kostek, $\mathcal{X}$. Dzięki takiemu podziałowi...

W referacie przedstawię zasady gry set i podam jej matematyczną interpretację. Pokażę kilka prostych faktów na jej temat i zajmę się problemem cap set (problem szukania zbioru punktów w którym nie ma punktów tworzących prostą w Z_3^4) w wymiarach 2, 3 i 4. Krótko omówię problem cap set w wyższych wymiarach. Powiem czym jest gra "typu" set i opowiem o systemach trójkowych Steinera i rzutowym secie.

Zbiór $\widetilde{X}$ nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeni $X$, jeżeli istnieje takie odwzorowanie $p\colon \widetilde{X}\to X$, dla którego spełniony jest następujący warunek: dla każdego $x\in X$ istnieje otoczenie otwarte $U\in X$ takie, że $p^{-1}(U)$ stanowi rozłączną sumę zbiorów otwartych w $\widetilde{X}$, z których każdy jest homeomorficzny z $U$.

Podczas referatu podamy...

Problem optymalnego rozliczania długów w grupie uczestników można ująć jako zadanie minimalizacji liczby lub kosztu transferów w sieci długów. W referacie przedstawię jego model w języku teorii grafów oraz związki z klasycznymi zagadnieniami optymalizacyjnymi, takimi jak przepływ o minimalnym koszcie (minimum-cost flow) i algorytm anulowania cykli (cycle cancelling). Omówię także podejście...

Podstawowym obiektem badań w geometrii algebraicznej są rozmaitości algebraiczne, czyli zbiory układów równań wielomianowych. W przeciwieństwie do układów liniowych, wielomianowe układy równań wielu zmiennych nie poddają się prostym metodom eliminacji ani rachunkowi macierzowemu. Z pomocą przychodzą bazy Gröbnera, które przekształcają zbiór generujący ideał wielomianów w postać kanoniczną, z...

W prezentacji przedstawiono system, który stanowi kompletny pipeline predykcji meczów piłki nożnej na podstawie danych pochodzących z czterech najwyższych lig piłkarskich w Anglii - od surowych danych po symulację szczegółowych statystyk spotkania. Punkt wyjścia stanowi integracja wielu źródeł: historii meczów, składów, wartości rynkowych oraz tabel ligowych, przekształcanych w spójny panel...

Nieoczekiwane skutki stosowania algorytmów gradientowych

Prezentacja omawia ukrytą regularyzację – zjawisko, w którym algorytmy optymalizacyjne, bez jawnego członu regularyzującego, preferują pewne rozwiązania, które lepiej generalizują.
Te zjawiska zostaną wyprowadzone za pomocą analizy wstecznej błędu.

• W Gradient Descent, dyskretyzacja kroku (skończony rozmiar...

Sterta jest pewnym uogólnieniem pojęcia grupy - zamiast standardowego działania dwuargumentowego spełniającego trzy aksjomaty (łączności oraz istnienia elementów odwrotnych i neutralnego), w stercie definiujemy działanie trójargumentowe spełniające dwa aksjomaty (łączności i identyczności Mal'cev'a). Okazuje się, że istnieje wzajemna jednoznaczność pomiędzy stertami a grupami - na każdej...

Kwadraty łacińskie stanowią ważny obiekt badań w kombinatoryce i teorii struktur algebraicznych. Jedną z kluczowych własności kwadratów łacińskich jest wzajemna ortogonalność kilku kwadratów. Choć jest to własność niezwykle łatwa do opisania, wyznaczenie zbioru wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich jest bardzo trudne. Trudne na tyle, że do tej pory nie wiemy, czy istnieją choćby trzy,...

Twierdzenie Taniyamy-Shimury-Weila (TSW) stanowi jedno z najważniejszych osiągnięć matematyki XX wieku, łącząc teorię krzywych eliptycznych z formami modularnymi. Jego udowodnienie przez Andrew Wilesa w 1994 roku miało fundamentalne konsekwencje - w szczególności, w połączeniu z twierdzeniem Ribeta, doprowadziło do rozwiązania Wielkiego Twierdzenia Fermata.
W referacie przedstawiona zostanie...

Wychodząc od tytułowego pytania, w referacie omówię, co stanie się, gdy odejdziemy od kanonicznej definicji liczb zespolonych. Skupię się na trzech rozszerzeniach liczb rzeczywistych: klasycznych liczbach zespolonych oraz mniej znanych liczbach dualnych i hiperbolicznych, przy okazji wprowadzając pojęcie algebry nad ciałem. Każdy z tych systemów opiera się na innej definicji „jednostki...

W trakcie referatu przedstawimy zarówno podstawy teoretyczne maszyny wektorów nośnych (Support Vector Machine, SVM), jak i jej praktyczne zastosowania. Zaczniemy od pojęcia klasyfikacji i ogólnej idei SVM. Omówimy dokładnie funkcje kosztu oraz związki SVM z przestrzeniami Hilberta z jądrem reprodukującym. Porównamy -- pod kątem zastosowań -- jądra liniowe, wielomianowe i gaussowskie (a więc...

W referacie zacznę od przedstawienia problemu trasy skoczka, polegającego na znalezieniu ciągu ruchów skoczka odwiedzających każde pole szachownicy dokładnie raz. Jest to jedno z klasycznych zagadnień kombinatoryki i teorii grafów.

W dalszej części skupię się na jednym z najważniejszych wyników dotyczących tego problemu - Twierdzeniu Schwenka. Twierdzenie to w pełni charakteryzuje...

Ogrzewanie pomieszczeń jest procesem pochłaniającym znaczne ilości energii, dlatego optymalizacja sposobu jej wykorzystania ma kluczowe znaczenie dla efektywności energetycznej budynków, a w związku z tym budżetu mieszkańców.
W niniejszej prezentacji omówimy modelowanie ogrzewania jednopoziomowego domu za pomocą niejednorodnego modelu przewodnictwa cieplnego z mieszanymi warunkami brzegowymi....

\begin{document}

Teoria bifurkacji w równaniach nieliniowych. \
Twierdzenie Crandalla-Rabinowitza i nie tylko.

Mateusz Woroch
Politechnika Gdańska,
Naukowe Koło Matematyki Studentów Politechniki Gdańskiej

Teoria bifurkacji jest fundamentalnym narzędziem w analizie nieliniowych równań postaci $F(x,\lambda) = 0$, gdzie $\lambda$ jest parametrem. Służy ona do znajdowania...

Problem wyceny opcji finansowych jako instrumentu pochodnego jest zadaniem bardzo złożonym, w praktyce stosuje się szereg metod numerycznych i statystycznych w celu przybliżenia ich rzeczywistej wartości. Najbardziej elastyczną pod względem jej stosowania jest metoda Monte Carlo, której skuteczność przy wycenie opcji europejskich jest powszechnie znana, jednak w przypadku opcji amerykańskich...

Klasyczny problem „zaczesania sfery” (ang. hairy ball theorem) pyta, czy na sferze można niezerowo i ciągle ustawić wektor w każdym punkcie – czyli, w przenośni, „zaczesać sferę” bez powstawania wirów. Twierdzenie o zaczesaniu sfery, sformułowane i udowodnione przez Henriego Poincarégo oraz Luitzena Egberta Brouwera, głosi, że **na sferze o parzystym wymiarze (w szczególności na sferze ...

Przedstawimy teorię matematyczną opisującą żonglowanie. Pokażemy często używane notacje opisujące procesy związane z tą dziedziną. Wyprowadzimy wzór na ilość unikalnych sposobów żonglowania. Udowodnimy kilka prostych twierdzeń związanych z kuglarstwem. Zdefiniujemy żonglowania pierwsze i pokażemy kilka ich własności. Odnotujemy powiązanie żonglowania z innymi działami matematyki, m. in. teorią...

Jednym z fundamentalnych przykładów grup są grupy permutacji $S_n$ dla $n\ge 3$. W tej rodzinie szczególnie wyróżnia się grupa $S_6$, gdyż jako jedyna posiada automorfizm zewnętrzny, czyli taki który nie jest postaci $x\mapsto gxg^{-1}$ dla pewnego $g\in S_6$. Okazuje się, że automorfizmy zewnętrzne $S_6$ można skonstruować geometrycznie przy pomocy pewnego pokolorowania sześciokątów. W czasie...

Nie trzeba nikogo przekonywać o istotności twierdzeń orzekających o istnieniu miejsc zerowych odwzorowań ciągłych. W moim referacie postaram się Was przekonać o tym, że pojęcie styczności odgrywa w tego typu twierdzeniach bardzo istotną rolę. Okazuje się bowiem, że dzięki niemu można na wiele z twierdzeń o istnieniu zer spojrzeć z zupełnie nowej perspektywy! Na referacie zdefiniuję, czym jest...

W trakcie referatu zostanie pokazane uogólnienie problemu igły Buffona i jego zastosowanie do nietypowego, probabilistycznego dowodu twierdzenia Barbiera w geometrii.

Dobrze znane jest twierdzenie o funkcji odwrotnej, często wykładane na pierwszych semestrach analizy matematycznej. Jest ono zazwyczaj formułowane jako twierdzenie dotyczące funkcji $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. W trakcie referatu przyjrzymy się w jaki sposób to twierdzenie może zostać uogólnione, najpierw do przestrzeni Banacha, a następnie do przestrzeni Frecheta, zgodnie z formulacją...

Przestrzenie Banacha stanowią jedno z najważniejszych uogólnień geometrii euklidesowej. Każda norma nadaje przestrzeni własny kształt i sposób mierzenia odległości, a tym samym wpływa na to, jak rozumiemy zbieżność, ciągłość czy stabilność operatorów. Wystąpienie pokazuje, jak różne normy - euklidesowa, Manhattan, maksimum i ogólne normy p - tworzą odmienne geometrie, które można intuicyjnie...

Automatyczne dowodzenie twierdzeń
geometrycznych metodą Wu
Szymon Bizoń , Jakub Chmiel

Abstrakt
Metoda Wu to algorytmiczna technika automatycznego dowodze-
nia twierdzeń geometrycznych, oparta na tłumaczeniu założeń geo-
metrycznych na układy równań wielomianowych i analizie tych ukła-
dów z czysto algebraicznego punktu widzenia. W referacie omówimy
pojęcia i fakty...

Dany jest skończony, jednorodny, nierozkładalny i nieokresowy łańcuch Markowa
o macierzy przejścia P. Interesuje nas, jak szybko potęgi macierzy P zbiegają
do rozkładu stacjonarnego. Jednym ze sposobów oszacowania tej prędkości jest
znalezienie ograniczenia na lukę spektralną macierzy P. Dla leniwych łańcuchów
odwracalnych możemy to osiągnąć poprzez wyznaczenie wielkości zwanej...

W plakacie omówione zostanie pojęcie ciągłości normy w przestrzeniach
wektorowych unormowanych. Zaczniemy od klasycznego dowodu ciągłości
normy, pokazującego, że każda norma jest funkcją Lipschitzowską ze
stałą 1. Następnie przeniesiemy uwagę na przykłady nietypowych i
„egzotycznych” norm – od standardowych norm do zniekształconych norm, a także w przestrzenie nieskończenie wymiarowe,...

Fraktale stanowią jedno z najbardziej intrygujących pojęć współczesnej matematyki, łącząc w sobie precyzję nauki i estetykę natury. Ich istotą jest samopodobieństwo – powtarzalność wzorców w różnych skalach – oraz niecałkowity wymiar geometryczny, który pozwala opisywać zjawiska niemożliwe do uchwycenia klasyczną geometrią euklidesową.
Celem niniejszego plakatu jest ukazanie fraktali jako...

Gdy mowa o miarach osobliwych względem miary Lebesgue’a, na myśl przychodzi zazwyczaj przykład najprostszy - miara dyskretna, skupiająca swój ciężar w przeliczalnym zbiorze punktów.

W niniejszym opracowaniu zajmiemy się jednak przypadkiem o wiele subtelniejszym i, rzec można, bardziej intrygującym: mierą, która, będąc ciągłą (a więc nieposiadającą atomów), pozostaje zarazem osobliwa...

Tematem plakatu są grafy skierowane o krawędziach oznaczonych elementami danego zbioru $S$ i ich związek z pewnymi pseudometrykami na przestrzeni ciągów skończonych o wyrazach z $S$. Plakat zawiera definicje ścieżek i cykli, kategorii digrafów i grafów de Bruijna oraz przedstawia konstrukcję przez odpowiednie funktory przestrzeni liniowych związanych z digrafem. Te przestrzenie z odpowiednią...

Tematyką plakatu jest pojęcie grupy wolnej - jednej z najbardziej podstawowych i uniwersalnych struktur algebraicznych, znajdującej zastosowanie m.in. w paradoksalnym rozkładzie kuli czy lingwistyce.
Grupa wolna F(X) generowana przez dany zbiór X zawiera nieredukowalne iloczyny złożone z elementów zbioru X oraz ich odwrotności.
Na plakacie zaprezentowane zostaną przykłady oraz kilka...

W roku 1963 Paul Cohen wykazał, że nie da się udowodnić hipotezy Continuum na gruncie aksjomatów ZFC. Dokonał tego, wprowadzając nową technikę zwaną wymuszaniem (forcing), którą przedstawię na plakacie i w ten sposób "zabiję" hipotezę Continuum w jednym modelu. Następnie użyjemy tej samej techniki aby ją "wskrzesić" w innym modelu, dzięki czemu pokażemy, że jest ona niezależna od aksjomatów ZFC.

Tematem plakatu jest zastosowanie grup wolnych generowanych przez litery alfabetu łacińskiego oraz relacji wynikających z homofonii w różnych językach.
Na plakacie zawarte będzie twierdzenie mówiące, że ilorazy homofoniczne języka francuskiego i angielskiego są trywialne, co oznacza że wszystkie słowa można sprowadzić do elementu neutralnego. Znajdą się również przykłady języków, gdzie takie...

-

Homotopia i homologia to dwa podstawowe narzędzia topologii algebraicznej służące do badania struktury przestrzeni poprzez analizę jej „dziur”. Homotopia opisuje przestrzeń za pomocą klas odwzorowań sfer $𝑆^𝑛 → 𝑋$, uogólniając ideę pętli na wyższe wymiary. Pozwala to badać deformacje i własności przestrzeni w sposób geometryczny, jednak obliczanie grup homotopii dla $𝑛>1$ jest niezwykle...

Zaczęło się niewinnie. Zauważono, że każdą mapę można pokolorować tylko czterema kolorami, w taki sposób, że żadne dwa sąsiadujące kraje nie miały tej samej barwy. Brzmi prosto? Matematycy przez ponad sto lat starali się dowieść tej tezy.
Chociaż przez długi czas wydawało się to nieosiągalne, a kolejne próby rozbijały się o błędy, jedna z nich przyniosła nieoczekiwany rezultat – twierdzenie...

Celem niniejszego plakatu jest przedstawienie standardowego sposobu konstrukcji podwójnego nakrycia grup $SO(n)$. Opisane zostaną: iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych, algebry Clifforda form kwadratowych, wraz z konstrukcją i elementarnymi własnościami, definicja grupy $Spin(n)$ oraz nieformalna konstrukcja nakrycia $\lambda: Spin(n) \rightarrow SO(n)$.

Przedstawione zostaje ogólne ujęcie lematu Lovásza o unikaniu jako narzędzia do wykazywania istnienia konfiguracji pozbawionych lokalnych przeszkód. Podkreśla się, że rzadkość zdarzeń niepożądanych oraz ich ograniczone powiązania wystarczają do uzyskania globalnego porządku. Zarysowane zostają dwie perspektywy:
jednolita (wszystkie zdarzenia porównywalne),
zróżnicowana (różne wagi i...

Mapy chaotyczne opisują nieliniowe układy dynamiczne, w których niewielka zmiana warunków początkowych prowadzi do całkowicie odmiennego przebiegu trajektorii. Zjawisko to, znane jako efekt motyla, może być wykorzystane w procesach szyfrowania danych. Plakat prezentuje mapy logistyczną, namiotową i Hénona oraz ich zastosowanie w kodowaniu obrazów. Przedstawiono metody oparte na permutacji i...

Teoria liczb jest jedną z bardziej znanych dziedzin matematyki i nawet osoby nie-matematyczne zdają sobie sprawę z tego, jaka mnogość różnych typów liczb istnieje. Przykładowo o liczbach pierwszych można usłyszeć już w szkole - za to my zajmiemy się przybliżeniem tych mniej znanych, na które mogliście nie trafić podczas całego toku nauczania.

Choć matematyka tradycyjnie utożsamiana jest z porządkiem i przewidywalnością, teoria chaosu ujawnia, że nawet najprostsze równania deterministyczne mogą prowadzić do złożonych, nieprzewidywalnych zachowań. Chaos deterministyczny nie wynika z przypadkowości, lecz z ekstremalnej wrażliwości na warunki początkowe - zjawiska, w którym minimalne różnice w danych wejściowych skutkują diametralnie...

Plakat przedstawia rolę matematyki w kryptografii na przykładzie algorytmu RSA, opartego na teorii liczb i algebrze modularnej. Omówiono znaczenie liczb pierwszych dla bezpieczeństwa szyfrowania oraz zasadę działania RSA — od generowania kluczy po proces szyfrowania i odszyfrowywania. Zaprezentowano także praktyczne zastosowania RSA w certyfikatach cyfrowych, podpisach elektronicznych i...

Czy cała populacja ma tylko jednego przodka? Na to pytanie pomoże nam odpowiedzieć teoria koalescencji, która zajmuje się badaniem pokrewieństwa w danej grupie. W posterze rozważymy prosty model. Wykorzystamy łańcuchy Markowa oraz liczby Sterlinga II rodzaju, które zdefiniujemy i krótko omówimy. Wyznaczymy liczbę przodków danej populacji w kolejnych pokoleniach wstecz oraz czas jaki...

Modelowanie rozprzestrzeniania się epidemii w sieciach wielokrotnych, z uwzględnieniem złożonych zachowań ludzkich, jest bardzo ciekawym zjawiskiem, które można opisać modelem matematycznym zaproponowanym przez Anne Chmiel i Roberta Jankowskiego. W niniejszym posterze zbadamy wzajemne oddziaływanie między rozprzestrzenianiem się epidemii a dynamiką opinii. Wykorzystamy model SIRQD do opisania...

Wiele symulacji kwantowych opiera się na sieciach tensorowych. Obliczenia te ograniczone są nie tylko mocą obliczeniową, ale coraz częściej dostępem do pamięci (tzw. ściana pamięci, ang. memory wall). Architektury typu Processing-in-Memory (PIM), integrujące logikę obliczeniową bezpośrednio w modułach pamięci, pozwalają na zaadresowanie tego problemu. Omówię obliczenia na sieciach tensorowych,...

Zbiór $\widetilde{X}$ nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeni $X$, jeżeli istnieje takie odwzorowanie $p\colon \widetilde{X}\to X$, dla którego spełniony jest następujący warunek: dla każdego $x\in X$ istnieje otoczenie otwarte $U\in X$ takie, że $p^{-1}(U)$ stanowi rozłączną sumę zbiorów otwartych w $\widetilde{X}$, z których każdy jest homeomorficzny z $U$.

Na posterze...

Róg Gabriela - figura o skończonej objętości, lecz o nieskończonym polu powierzchni. Jest wiele figur o podobnych własnościach, ale to właśnie róg Gabriela, zwany inaczej trąbką Torriciellego wyróżnia się spośród nich. Ze względu na właściwości związany jest z nim paradoks malarza, mówiący, że można wlać do bryły skończoną ilość farby, lecz jej ściany nie zostaną pomalowane. Oczywiście nie...

Poster „Podróż na Księżyc za pomocą funkcji wykładniczej” mówi o zastosowaniu funkcji wykładniczej w kontekście problemu składania kartki papieru. Inspiracją stały się badania Britney Gallivan, która opracowała wzory opisujące zależność pomiędzy liczbą złożeń a długością i grubością papieru. Autorzy udowadniają, że funkcja wykładnicza doskonale opisuje, jak szybko rośnie grubość papieru już...

Ten plakat przedstawia proces Wienera jako rygorystyczne matematyczne narzędzie do opisu losowości w czasie ciągłym w systemach finansowych. Podkreśla rolę lematu Itô jako rozszerzenia klasycznej reguły łańcuchowej na procesy losowe. Zawarty jest zwięzły zarys dowodu lematu, który ilustruje intuicję stojącą za jego sformułowaniem. Na koniec plakat omawia kluczowe zastosowania w finansach, w...

Niniejszy plakat bada zasadniczą rolę wypukłości w klasycznych algorytmach uczenia maszynowego (ML). Wiele tradycyjnych metod opiera się na minimalizacji wypukłych funkcji straty – wyborze motywowanym gwarancjami optymalizacyjnymi, jakie zapewniają te struktury matematyczne.
Rozpoczniemy od formalnego wprowadzenia definicji zbiorów i funkcji wypukłych, a także kluczowych twierdzeń je...

Na plakacie zajmuję się pytaniem: czy istnieje funkcja przekształcająca prostą rzeczywistą na płaszczyznę tak, że w każdym punkcie co najmniej jedna z jej współrzędnych jest różniczkowalna?
Problem ten, choć sformułowany w języku analizy matematycznej, prowadzi poza jej granice — do fundamentów całej matematyki opartej na aksjomatach teorii mnogości. Okazuje się bowiem, że istnienie takiej...

Plakat przedstawia problem detekcji zmanipulowanych obrazów z wykorzystaniem metryk geometrycznych w przestrzeni cech generowanej przez sieci konwolucyjne.
Każdy obraz reprezentowany jest przez wektor cech opisujący jego strukturę wizualną, który następnie jest porównywany z rozkładem cech typowych dla obrazów prawdziwych. Pozwala to określić stopień odchylenia danej próbki od oczekiwanego...

Wieloraka regresja liniowa jest jedną z najczęściej stosowanych metod analizy
ilościowej, pozwalającą na modelowanie wpływu wielu zmiennych objaśniających na
zmienną badaną. W praktycznych zastosowaniach modeli regresji wielorakiej jednym z
najpoważniejszych wyzwań jest multikolinearność, czyli istnienie niemal liniowej zależności między zmiennymi objaśniającymi, która prowadzi do...