Ogólnopolska Matematyczna Konferencja Studentów - OMatKo!!! XII

Spotykanie przez sprzęganie — dynamika Glaubera w teorii łańcuchów Markowa

Wiele zjawisk, które obserwujemy w naturze i technologii — od ruchu cząstek po algorytmy komputerowe — ma w sobie element losowości. Jednym z najważniejszych narzędzi do ich opisu są łańcuchy Markowa, czyli modele, w których przyszłość zależy tylko od obecnego stanu, a nie od całej historii. W referacie opowiem o...

Celem wykładu jest znalezienie wszystkich liczb Fibonacciego, które są potęgami liczb całkowitych. By uzyskać wynik, zostaną wykorzystane narzędzia z teorii liniowych form logarytmów Bakera, mające swoje źródła w rozwiązaniu siódmego problemu Hilberta.
W prelekcji zostaną najpierw przedstawione podstawy teorii liniowych form logarytmów Bakera oraz kluczowe oszacowania, pozwalające nam...

Prezentacja poświęcona jest zagadnieniu kombinatorycznych charakteryzacji własności pokryciowych przestrzeni topologicznych, które stanowią ważny obszar badań w topologii ogólnej. Celem wystąpienia jest pokazanie, w jaki sposób własności topologiczne — takie jak np. własność Mengera czy Hurewicza— mogą być opisane przy użyciu narzędzi i idei pochodzących z kombinatoryki oraz teorii mnogości....

Zjawisko Rungego stanowi jedno z najbardziej intrygujących przykładów sytuacji, w której matematyczna rzeczywistość przeczy naszej intuicji. Dotyczy ono interpolacji wielomianowej - procesu, który powinien przybliżać dowolną funkcję wielomianem coraz lepiej wraz ze wzrostem liczby punktów (węzłów). Jednak wbrew oczekiwaniom, dla pewnych funkcji i rozmieszczeń punktów, przybliżenie wielomianowe...

Wiele z nas kojarzy księgę Szkocką w której lwowscy matematycy pisali problemy wymagające rozwiązania. Jednak ile z tych problemów jest nam faktycznie znane? Pokażę rozwiązania kilku z do tej pory rozwiązanych problemów i być może zainteresuję uczestników tymi nierozwiązanymi, których wciąż wiele można w księdze znaleźć.

Dzielące się przez jeden i samą siebie liczby skrywają w sobie wiele tajemnic, które od stuleci fascynują matematyków. Choć ich rozmieszczenie wydaje się chaotyczne, w tym pozornym nieładzie można dostrzec zaskakujące wzory i regularności.

W referacie Porządek w chaosie spróbujemy uchwycić te ukryte zależności. Zaczniemy od słynnego wzoru Eulera $n^2 + n + 41$, który przez długi czas...

W referacie przedstawię zasady gry set i podam jej matematyczną interpretację. Pokażę kilka prostych faktów na jej temat i zajmę się problemem cap set (problem szukania zbioru punktów w którym nie ma punktów tworzących prostą w Z_3^4) w wymiarach 2, 3 i 4. Krótko omówię problem cap set w wyższych wymiarach. Powiem czym jest gra "typu" set i opowiem o systemach trójkowych Steinera i rzutowym secie.

Zbiór $\widetilde{X}$ nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeni $X$, jeżeli istnieje takie odwzorowanie $p\colon \widetilde{X}\to X$, dla którego spełniony jest następujący warunek: dla każdego $x\in X$ istnieje otoczenie otwarte $U\in X$ takie, że $p^{-1}(U)$ stanowi rozłączną sumę zbiorów otwartych w $\widetilde{X}$, z których każdy jest homeomorficzny z $U$.

Podczas referatu podamy...

Podstawowym obiektem badań w geometrii algebraicznej są rozmaitości algebraiczne, czyli zbiory układów równań wielomianowych. W przeciwieństwie do układów liniowych, wielomianowe układy równań wielu zmiennych nie poddają się prostym metodom eliminacji ani rachunkowi macierzowemu. Z pomocą przychodzą bazy Gröbnera, które przekształcają zbiór generujący ideał wielomianów w postać kanoniczną, z...

Sterta jest pewnym uogólnieniem pojęcia grupy - zamiast standardowego działania dwuargumentowego spełniającego trzy aksjomaty (łączności oraz istnienia elementów odwrotnych i neutralnego), w stercie definiujemy działanie trójargumentowe spełniające dwa aksjomaty (łączności i identyczności Mal'cev'a). Okazuje się, że istnieje wzajemna jednoznaczność pomiędzy stertami a grupami - na każdej...

Twierdzenie Taniyamy-Shimury-Weila (TSW) stanowi jedno z najważniejszych osiągnięć matematyki XX wieku, łącząc teorię krzywych eliptycznych z formami modularnymi. Jego udowodnienie przez Andrew Wilesa w 1994 roku miało fundamentalne konsekwencje - w szczególności, w połączeniu z twierdzeniem Ribeta, doprowadziło do rozwiązania Wielkiego Twierdzenia Fermata.
W referacie przedstawiona zostanie...

Wychodząc od tytułowego pytania, w referacie omówię, co stanie się, gdy odejdziemy od kanonicznej definicji liczb zespolonych. Skupię się na trzech rozszerzeniach liczb rzeczywistych: klasycznych liczbach zespolonych oraz mniej znanych liczbach dualnych i hiperbolicznych, przy okazji wprowadzając pojęcie algebry nad ciałem. Każdy z tych systemów opiera się na innej definicji „jednostki...

W referacie zacznę od przedstawienia problemu trasy skoczka, polegającego na znalezieniu ciągu ruchów skoczka odwiedzających każde pole szachownicy dokładnie raz. Jest to jedno z klasycznych zagadnień kombinatoryki i teorii grafów.

W dalszej części skupię się na jednym z najważniejszych wyników dotyczących tego problemu - Twierdzeniu Schwenka. Twierdzenie to w pełni charakteryzuje...

\begin{document}

Teoria bifurkacji w równaniach nieliniowych. \
Twierdzenie Crandalla-Rabinowitza i nie tylko.

Mateusz Woroch
Politechnika Gdańska,
Naukowe Koło Matematyki Studentów Politechniki Gdańskiej

Teoria bifurkacji jest fundamentalnym narzędziem w analizie nieliniowych równań postaci $F(x,\lambda) = 0$, gdzie $\lambda$ jest parametrem. Służy ona do znajdowania...

Klasyczny problem „zaczesania sfery” (ang. hairy ball theorem) pyta, czy na sferze można niezerowo i ciągle ustawić wektor w każdym punkcie – czyli, w przenośni, „zaczesać sferę” bez powstawania wirów. Twierdzenie o zaczesaniu sfery, sformułowane i udowodnione przez Henriego Poincarégo oraz Luitzena Egberta Brouwera, głosi, że **na sferze o parzystym wymiarze (w szczególności na sferze ...

Przedstawimy teorię matematyczną opisującą żonglowanie. Pokażemy często używane notacje opisujące procesy związane z tą dziedziną. Wyprowadzimy wzór na ilość unikalnych sposobów żonglowania. Udowodnimy kilka prostych twierdzeń związanych z kuglarstwem. Zdefiniujemy żonglowania pierwsze i pokażemy kilka ich własności. Odnotujemy powiązanie żonglowania z innymi działami matematyki, m. in. teorią...

Jednym z fundamentalnych przykładów grup są grupy permutacji $S_n$ dla $n\ge 3$. W tej rodzinie szczególnie wyróżnia się grupa $S_6$, gdyż jako jedyna posiada automorfizm zewnętrzny, czyli taki który nie jest postaci $x\mapsto gxg^{-1}$ dla pewnego $g\in S_6$. Okazuje się, że automorfizmy zewnętrzne $S_6$ można skonstruować geometrycznie przy pomocy pewnego pokolorowania sześciokątów. W czasie...

Nie trzeba nikogo przekonywać o istotności twierdzeń orzekających o istnieniu miejsc zerowych odwzorowań ciągłych. W moim referacie postaram się Was przekonać o tym, że pojęcie styczności odgrywa w tego typu twierdzeniach bardzo istotną rolę. Okazuje się bowiem, że dzięki niemu można na wiele z twierdzeń o istnieniu zer spojrzeć z zupełnie nowej perspektywy! Na referacie zdefiniuję, czym jest...

W trakcie referatu zostanie pokazane uogólnienie problemu igły Buffona i jego zastosowanie do nietypowego, probabilistycznego dowodu twierdzenia Barbiera w geometrii.

Dobrze znane jest twierdzenie o funkcji odwrotnej, często wykładane na pierwszych semestrach analizy matematycznej. Jest ono zazwyczaj formułowane jako twierdzenie dotyczące funkcji $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. W trakcie referatu przyjrzymy się w jaki sposób to twierdzenie może zostać uogólnione, najpierw do przestrzeni Banacha, a następnie do przestrzeni Frecheta, zgodnie z formulacją...