Mówca
Opis
Analiza nieliniowych układów dynamicznych jest często trudna, szczególnie dla wysokowymiarowych układów oraz takich, które są chaotyczne.
W referacie przedstawiamy metodę analizy dynamiki układu zadanego przez ciągłe odwzorowanie $f\colon X\ni x_t\mapsto x_{t+1} \in X$ polegającą na dyskretyzacji przestrzeni fazowej na skończony zbiór $n$-kostek, $\mathcal{X}$. Dzięki takiemu podziałowi możemy skonstruować wielowartościowe odwzorowanie $\mathcal{F}\colon \mathcal{X}\multimap \mathcal{X}$, które interpretujemy jako ważony graf skierowany, opisujący odwzorowanie kostek w siebie nawzajem. Taka reprezentacja układu pozwala na użycie efektywnych algorytmów grafowych np. w celu poszukiwania punktów stałych, orbit okresowych lub określenia czy układ jest topologicznie tranzytywny przy ustalonej skończonej rozdzielczości [1,2]. Dla układów, w których występuje zjawisko wędrówki chaotycznej [3], gdzie trajektorie przejawiają złożoną dynamikę łączącą chaos z momentami uporządkowanego ruchu w pobliżu quasi-atraktorów, proponujemy metodę filtracji grafu $\mathcal{F_\tau}$ pozwalającą na odseparowanie interesujących nas obszarów od chaotycznych przejść. Nadawanie wag krawędziom grafu $\mathcal{F_\tau}$ pozwala także na wykorzystanie metod statystycznych, takich jak wyznaczenie rozkładu stacjonarnego powstałego łańcucha Markowa oraz śledzenie przejść pomiędzy quasi-atraktorami w sposób ilościowy. Pokażemy wyniki zastosowania powyższych metod do analizy dwóch typów układów dynamicznych: klasycznego odwzorowania Henona, w którym obserwuje się dynamikę chaotyczną, oraz układu sprzężonych odwzorowań jednowymiarowych, w którym zaobserwować można zjawisko wędrówki chaotycznej.
[1] Arai, Z., Kalies, W., Kokubu, H., Mischaikow, K., Oka, H. & Pilarczyk, P. (2009). A Database Schema for the Analysis of Global Dynamics of Multiparameter Systems. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 8(3), 757–789.
[2] Luzzatto, S. & Pilarczyk, P. (2011). Finite resolution dynamics. Foundations of Computational Mathematics, 11(2), 211–239.
[3] Kaneko, K. & Tsuda, I. (2003). Chaotic itinerancy. Chaos, 13(3), 926–936.
