Opis
Gdy mowa o miarach osobliwych względem miary Lebesgue’a, na myśl przychodzi zazwyczaj przykład najprostszy - miara dyskretna, skupiająca swój ciężar w przeliczalnym zbiorze punktów.
W niniejszym opracowaniu zajmiemy się jednak przypadkiem o wiele subtelniejszym i, rzec można, bardziej intrygującym: mierą, która, będąc ciągłą (a więc nieposiadającą atomów), pozostaje zarazem osobliwa względem miary Lebesgue’a.
Kluczem do zrozumienia tego zjawiska jest funkcja Cantora, zwana również Diabelskimi Schodami. To właśnie ona prowadzi nas do konstrukcji wspomnianej miary - ciągłej, lecz osobliwej.
Na plakacie prześledzimy kolejno etapy klasycznej budowy tej funkcji. Następnie rozważymy, dlaczego - pomimo swej ciągłości - funkcja ta nie jest absolutnie ciągła. Różnica między ciągłością a absolutną ciągłością okaże się tutaj zasadnicza.
W zakończeniu ukażemy, jak ów brak absolutnej ciągłości czyni z miary Cantora znakomity kontrprzykład, ilustrujący istotę warunku absolutnej ciągłości w Twierdzeniu Radona-Nikodyma. Warunek ten, bynajmniej nie będąc szczegółem technicznym, stanowi konieczny fundament istnienia gęstości miary względem miary Lebesgue'a.
