W matematyce oraz informatyce bada się różne rodzaje problemów optymalizacyjnych. Dla wielu z nich udało się opracować efektywne algorytmy, które zawsze pozwalają znaleźć optymalne rozwiązanie. Są jednak i takie, dla których nie znamy algorytmów o zadowalającym czasie działania. Co więcej, mamy poważne powody, żeby przypuszczać, że dla niektórych problemów takie algorytmy w ogóle nie istnieją....
Spotykanie przez sprzęganie — dynamika Glaubera w teorii łańcuchów Markowa
Wiele zjawisk, które obserwujemy w naturze i technologii — od ruchu cząstek po algorytmy komputerowe — ma w sobie element losowości. Jednym z najważniejszych narzędzi do ich opisu są łańcuchy Markowa, czyli modele, w których przyszłość zależy tylko od obecnego stanu, a nie od całej historii. W referacie opowiem o...
Kryptografia krzywych eliptycznych (ECC) stanowi jeden z filarów nowoczesnych systemów zabezpieczających dane. Jej kluczowa rola w dzisiejszej informatyce wynika ze zdolności do zapewnienia tego samego poziomu bezpieczeństwa co w przypadku klasycznych systemów (np. opartych na problemie faktoryzacji) przy użyciu znacznie krótszych, a tym samym wydajniejszych obliczeniowo kluczy. Jest ona...
Celem wykładu jest znalezienie wszystkich liczb Fibonacciego, które są potęgami liczb całkowitych. By uzyskać wynik, zostaną wykorzystane narzędzia z teorii liniowych form logarytmów Bakera, mające swoje źródła w rozwiązaniu siódmego problemu Hilberta.
W prelekcji zostaną najpierw przedstawione podstawy teorii liniowych form logarytmów Bakera oraz kluczowe oszacowania, pozwalające nam...
W Polsce, jak i w wielu innych demokracjach świata, obserwujemy wybory binarne, których wyniki kształtują się około 50% na 50%. Opowiem o modelu zainspirowanym modelem Isinga, który próbuje wyjaśnić to zjawisko. W owym modelu rozważamy sieć wyborców, którzy mogą przyjąć jedną z dwóch opinii. Wyborcy preferują opinię zgodną z sąsiadami i przeciwną do faworyta sondażów. Prowadzi to do stanu...
Wędrówka chaotyczna (chaotic itinerancy) to rodzaj zachowania obserwowanego w układach dynamicznych na pograniczu chaosu i uporządkowania. Zjawisko to polega na tym, że trajektoria układu przez pewien czas przebywa w stanie uporządkowanym, po czym przechodzi do stanu chaotycznego. Po jakimś czasie trajektoria znowu wraca do - być może innego - stanu uporządkowanego i ten proces jest...
W dobie nadmiaru informacji i łatwości publikacji treści efektywne określenie
głównej tematyki dużych zbiorów tekstowych staje się wyzwaniem. W takim
przypadku tradycyjna analiza jest czasochłonna i nieefektywna. Odpowiedzią na
to wyzwanie są nowoczesne metody analizy tekstu, w tym model ukrytej alokacji
Dirichleta (LDA – Latent Dirichlet Allocation), który pozwala na...
Analiza nieliniowych układów dynamicznych jest często trudna, szczególnie dla wysokowymiarowych układów oraz takich, które są chaotyczne.
W referacie przedstawiamy metodę analizy dynamiki układu zadanego przez ciągłe odwzorowanie $f\colon X\ni x_t\mapsto x_{t+1} \in X$ polegającą na dyskretyzacji przestrzeni fazowej na skończony zbiór $n$-kostek, $\mathcal{X}$. Dzięki takiemu podziałowi...
W referacie przedstawię zasady gry set i podam jej matematyczną interpretację. Pokażę kilka prostych faktów na jej temat i zajmę się problemem cap set (problem szukania zbioru punktów w którym nie ma punktów tworzących prostą w Z_3^4) w wymiarach 2, 3 i 4. Krótko omówię problem cap set w wyższych wymiarach. Powiem czym jest gra "typu" set i opowiem o systemach trójkowych Steinera i rzutowym secie.
Zbiór $\widetilde{X}$ nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeni $X$, jeżeli istnieje takie odwzorowanie $p\colon \widetilde{X}\to X$, dla którego spełniony jest następujący warunek: dla każdego $x\in X$ istnieje otoczenie otwarte $U\in X$ takie, że $p^{-1}(U)$ stanowi rozłączną sumę zbiorów otwartych w $\widetilde{X}$, z których każdy jest homeomorficzny z $U$.
Podczas referatu podamy...
Problem optymalnego rozliczania długów w grupie uczestników można ująć jako zadanie minimalizacji liczby lub kosztu transferów w sieci długów. W referacie przedstawię jego model w języku teorii grafów oraz związki z klasycznymi zagadnieniami optymalizacyjnymi, takimi jak przepływ o minimalnym koszcie (minimum-cost flow) i algorytm anulowania cykli (cycle cancelling). Omówię także podejście...
Podstawowym obiektem badań w geometrii algebraicznej są rozmaitości algebraiczne, czyli zbiory układów równań wielomianowych. W przeciwieństwie do układów liniowych, wielomianowe układy równań wielu zmiennych nie poddają się prostym metodom eliminacji ani rachunkowi macierzowemu. Z pomocą przychodzą bazy Gröbnera, które przekształcają zbiór generujący ideał wielomianów w postać kanoniczną, z...
W prezentacji przedstawiono system, który stanowi kompletny pipeline predykcji meczów piłki nożnej na podstawie danych pochodzących z czterech najwyższych lig piłkarskich w Anglii - od surowych danych po symulację szczegółowych statystyk spotkania. Punkt wyjścia stanowi integracja wielu źródeł: historii meczów, składów, wartości rynkowych oraz tabel ligowych, przekształcanych w spójny panel...
Nieoczekiwane skutki stosowania algorytmów gradientowych
Prezentacja omawia ukrytą regularyzację – zjawisko, w którym algorytmy optymalizacyjne, bez jawnego członu regularyzującego, preferują pewne rozwiązania, które lepiej generalizują.
Te zjawiska zostaną wyprowadzone za pomocą analizy wstecznej błędu.
- W Gradient Descent, dyskretyzacja kroku (skończony rozmiar...
Kwadraty łacińskie stanowią ważny obiekt badań w kombinatoryce i teorii struktur algebraicznych. Jedną z kluczowych własności kwadratów łacińskich jest wzajemna ortogonalność kilku kwadratów. Choć jest to własność niezwykle łatwa do opisania, wyznaczenie zbioru wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich jest bardzo trudne. Trudne na tyle, że do tej pory nie wiemy, czy istnieją choćby trzy,...
Twierdzenie Taniyamy-Shimury-Weila (TSW) stanowi jedno z najważniejszych osiągnięć matematyki XX wieku, łącząc teorię krzywych eliptycznych z formami modularnymi. Jego udowodnienie przez Andrew Wilesa w 1994 roku miało fundamentalne konsekwencje - w szczególności, w połączeniu z twierdzeniem Ribeta, doprowadziło do rozwiązania Wielkiego Twierdzenia Fermata.
W referacie przedstawiona zostanie...
Wychodząc od tytułowego pytania, w referacie omówię, co stanie się, gdy odejdziemy od kanonicznej definicji liczb zespolonych. Skupię się na trzech rozszerzeniach liczb rzeczywistych: klasycznych liczbach zespolonych oraz mniej znanych liczbach dualnych i hiperbolicznych, przy okazji wprowadzając pojęcie algebry nad ciałem. Każdy z tych systemów opiera się na innej definicji „jednostki...
W trakcie referatu przedstawimy zarówno podstawy teoretyczne maszyny wektorów nośnych (Support Vector Machine, SVM), jak i jej praktyczne zastosowania. Zaczniemy od pojęcia klasyfikacji i ogólnej idei SVM. Omówimy dokładnie funkcje kosztu oraz związki SVM z przestrzeniami Hilberta z jądrem reprodukującym. Porównamy -- pod kątem zastosowań -- jądra liniowe, wielomianowe i gaussowskie (a więc...
W referacie zacznę od przedstawienia problemu trasy skoczka, polegającego na znalezieniu ciągu ruchów skoczka odwiedzających każde pole szachownicy dokładnie raz. Jest to jedno z klasycznych zagadnień kombinatoryki i teorii grafów.
W dalszej części skupię się na jednym z najważniejszych wyników dotyczących tego problemu - Twierdzeniu Schwenka. Twierdzenie to w pełni charakteryzuje...
Ogrzewanie pomieszczeń jest procesem pochłaniającym znaczne ilości energii, dlatego optymalizacja sposobu jej wykorzystania ma kluczowe znaczenie dla efektywności energetycznej budynków, a w związku z tym budżetu mieszkańców.
W niniejszej prezentacji omówimy modelowanie ogrzewania jednopoziomowego domu za pomocą niejednorodnego modelu przewodnictwa cieplnego z mieszanymi warunkami brzegowymi....
\begin{document}
Teoria bifurkacji w równaniach nieliniowych. \
Twierdzenie Crandalla-Rabinowitza i nie tylko.
Mateusz Woroch
Politechnika Gdańska,
Naukowe Koło Matematyki Studentów Politechniki Gdańskiej
Teoria bifurkacji jest fundamentalnym narzędziem w analizie nieliniowych równań postaci $F(x,\lambda) = 0$, gdzie $\lambda$ jest parametrem. Służy ona do znajdowania...
Problem wyceny opcji finansowych jako instrumentu pochodnego jest zadaniem bardzo złożonym, w praktyce stosuje się szereg metod numerycznych i statystycznych w celu przybliżenia ich rzeczywistej wartości. Najbardziej elastyczną pod względem jej stosowania jest metoda Monte Carlo, której skuteczność przy wycenie opcji europejskich jest powszechnie znana, jednak w przypadku opcji amerykańskich...
Klasyczny problem „zaczesania sfery” (ang. hairy ball theorem) pyta, czy na sferze można niezerowo i ciągle ustawić wektor w każdym punkcie – czyli, w przenośni, „zaczesać sferę” bez powstawania wirów. Twierdzenie o zaczesaniu sfery, sformułowane i udowodnione przez Henriego Poincarégo oraz Luitzena Egberta Brouwera, głosi, że **na sferze o parzystym wymiarze (w szczególności na sferze ...
Jednym z fundamentalnych przykładów grup są grupy permutacji $S_n$ dla $n\ge 3$. W tej rodzinie szczególnie wyróżnia się grupa $S_6$, gdyż jako jedyna posiada automorfizm zewnętrzny, czyli taki który nie jest postaci $x\mapsto gxg^{-1}$ dla pewnego $g\in S_6$. Okazuje się, że automorfizmy zewnętrzne $S_6$ można skonstruować geometrycznie przy pomocy pewnego pokolorowania sześciokątów. W czasie...
Nie trzeba nikogo przekonywać o istotności twierdzeń orzekających o istnieniu miejsc zerowych odwzorowań ciągłych. W moim referacie postaram się Was przekonać o tym, że pojęcie styczności odgrywa w tego typu twierdzeniach bardzo istotną rolę. Okazuje się bowiem, że dzięki niemu można na wiele z twierdzeń o istnieniu zer spojrzeć z zupełnie nowej perspektywy! Na referacie zdefiniuję, czym jest...
W trakcie referatu zostanie pokazane uogólnienie problemu igły Buffona i jego zastosowanie do nietypowego, probabilistycznego dowodu twierdzenia Barbiera w geometrii.
Dobrze znane jest twierdzenie o funkcji odwrotnej, często wykładane na pierwszych semestrach analizy matematycznej. Jest ono zazwyczaj formułowane jako twierdzenie dotyczące funkcji $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. W trakcie referatu przyjrzymy się w jaki sposób to twierdzenie może zostać uogólnione, najpierw do przestrzeni Banacha, a następnie do przestrzeni Frecheta, zgodnie z formulacją...
W plakacie omówione zostanie pojęcie ciągłości normy w przestrzeniach
wektorowych unormowanych. Zaczniemy od klasycznego dowodu ciągłości
normy, pokazującego, że każda norma jest funkcją Lipschitzowską ze
stałą 1. Następnie przeniesiemy uwagę na przykłady nietypowych i
„egzotycznych” norm – od standardowych norm do zniekształconych norm, a także w przestrzenie nieskończenie wymiarowe,...
